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Les Dés jouent-ils aux dieux ? Les mathématiques de l’incertitude

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Les Dés jouent-ils aux dieux ? Les mathématiques de l’incertitude
STEWART Ian , « Les Dés jouent-ils aux dieux ? Les mathématiques de l’incertitude », Dunod, 2020.

L’incertitude n’est pas toujours une mauvaise chose, affirme le mathématicien britannique Ian Stewart ; encore faut-il être capable de la réduire, voire de l’éliminer. Le calcul des probabilités y contribue, et l’auteur en explore, dans les 16 chapitres de son livre, les applications concrètes, de l’économie à la climatologie, en passant par la médecine.

Le cerveau humain a évolué pour devenir une machine à prendre des décisions face à l’incertitude qu’il s’est efforcé de maîtriser au cours de ce que l’auteur appelle, en introduction, ses six « âges » qu’il va parcourir. Pendant le premier, les humains expliquaient les incertitudes par la volonté des dieux qui gouvernaient l’Univers à leur guise, mais ils se rendirent compte que par des raisonnements logiques, et avec leurs observations, ils pouvaient réduire bon nombre d’entre elles (le mouvement de planètes était ainsi prévisible). Ce deuxième âge fut celui de l’avènement de la science. Avec la théorie des probabilités et les statistiques, puis avec la physique quantique, au début du XXe siècle, deux nouveaux âges lui succédèrent et la science du chaos — la météorologie en est à l’origine — en a inauguré un cinquième, dans les années 1960-1970. Nous sommes aujourd’hui dans le sixième âge car nous disposons d’une trousse d’outils mathématiques et statistiques qui nous permettent de mieux « prédire » l’avenir.

La lecture des entrailles ou du foie d’un animal sacrifié par un prêtre dans un temple, celle des lignes de la main, voire de la plante des pieds (la podomancie), et les horoscopes étaient les techniques clefs du premier âge ; certaines ont encore des adeptes. Les jeux de hasard, ceux de dès, de cartes et de pile ou face, ouvrirent la voie à l’âge de la connaissance scientifique de l’incertitude avec la théorie des probabilités. Le dé à six faces, une invention iranienne, a été l’objet de réflexions mathématiques, notamment celles du grand mathématicien Jérôme Cardan (1501-1576). Il en va de même du pari à pile ou face avec une pièce de monnaie lancée en l’air, un jeu auquel de longs et savants calculs probabilistes ont été consacrés. L’astronomie est à l’origine des statistiques, une branche de la théorie des probabilités. En effet, les astronomes utilisaient des données d’observation souvent incomplètes ou incertaines qui doivent vérifier un grand nombre d’équations, celles de la gravitation de Newton pour les trajectoires des planètes, et l’astronome Adrien-Marie Legendre introduisit, en 1805, la méthode des « moindres carrés » afin d’utiliser les données qui les vérifiaient avec une erreur globale minimale. L’auteur donne l’exemple actuel d’un problème à deux variables : l’évolution du prix de l’essence en fonction de celui du pétrole, qui suit une loi linéaire (une droite sur un graphique) obtenue en minimisant la somme des carrés des erreurs (c’est-à-dire des écarts des prix constatés pour l’essence par rapport aux prévisions de cette « loi »).

Les mathématiciens ont perfectionné la théorie statistique avec une densité de probabilité représentée par la « courbe en cloche » dite de Gauss, utilisée dans un grand nombre de domaines, de la médecine à la physique des particules, en passant par la finance. Adolphe Quetelet, astronome à Bruxelles, a transposé ces méthodes, à la fin des années 1820, à une « physique sociale », initiée à partir du recensement de la population de la Belgique ; elle est l’objet de débats : des corrélations entre des événements peuvent-ils être un indicateur d’une causalité potentielle (par exemple la relation entre le tabagisme et l’apparition de cancers chez certains individus) ? Nombre de problèmes statistiques sont traités avec des probabilités conditionnelles, un concept que l’on doit à un évêque anglican, Thomas Bayes : la probabilité pour qu’un événement E se produise sachant qu’un événement F s’est produit. L’auteur souligne que l’application des raisonnements bayésiens, aujourd’hui, peut être source de contestations, notamment dans le domaine judiciaire (par exemple, la probabilité qu’un individu soit coupable d’un meurtre alors que l’on a trouvé sur lui des traces de l’ADN d’une victime).

Les trois âges de l’incertitude de l’époque moderne doivent beaucoup à la science, notamment à la physique qui a introduit un traitement probabiliste des lois de la thermodynamique et des propriétés de la matière, puis au XXe siècle, la physique quantique avec Werner Heisenberg a « canonisé » le concept d’incertitude dans un principe : il est impossible de déterminer simultanément, et avec une très grande précision, la position et la vitesse d’une particule ou d’un atome, leur trajectoire est partiellement indéterminée. Les modèles météorologiques ont utilisé des méthodes statistiques pour traiter un nombre considérable de données, avec le renfort de puissants ordinateurs, des « usines à prévoir le temps », et améliorer leurs prévisions ; celles à cinq jours sont aujourd’hui crédibles, sauf circonstances exceptionnelles ; les prévisions climatiques à plus grande échelle temporelle et spatiale ont suivi le même chemin. Enfin, Edward Lorenz a mis les statisticiens sur la voie de phénomènes étranges en météorologie dans les années 1960 (le cinquième âge de l’incertitude) : ils sont a priori déterministes, mais ils ne sont pas prévisibles — Henri Poincaré avait envisagé cette situation avec des planètes. Ce comportement caractérise des systèmes gouvernés par des équations non linéaires : il suffit, parfois, d’une modification minime de leurs conditions initiales locales pour que leur comportement (l’évolution spatiale et temporelle de l’état de l’atmosphère, par exemple) soit radicalement modifié et imprévisible, il devient chaotique. La santé et la finance sont aussi confrontées à des situations d’incertitude que les techniques probabilistes tentent de réduire. En médecine, les essais cliniques de médicaments utilisent des méthodes statistiques pour tester leur efficacité, mais la crise financière de 2008, déclenchée aux États-Unis par la bulle des subprimes, conduit l’auteur à inciter à la prudence les utilisateurs de modèles économiques et financiers.

L’auteur s’interroge dans les trois derniers chapitres sur le sixième âge de l’incertitude. Nous disposons d’outils statistiques pour mieux la cerner voire l’exploiter (l’utilisation des nombres aléatoires en cryptographie en est un exemple), mais aussi sur la signification des concepts de la physique quantique. « Dieu ne joue pas aux dés » affirmait Albert Einstein pour contester la pertinence du principe d’incertitude, mais Ian Stewart renverse sa métaphore en affirmant que les dés jouent sans doute aux dieux, car le hasard serait le mécanisme qui fait marcher l’Univers, et il reproche aux physiciens de ne pas avoir poursuivi le débat sur l’interprétation dite de Copenhague de la physique quantique (comment passe-t-on du monde microscopique à celui des objets macroscopiques ?) qui connaît d’ailleurs un regain d’intérêt. Il conclut en constatant que si l’avenir demeure toujours incertain, la science de l’incertitude est celle de l’avenir.

Ce livre est important car il met au jour la puissance des méthodes probabilistes. Toutefois, sa lecture est parfois difficile, le lecteur devant mobiliser ses notions de calcul des probabilités s’il veut suivre le fil de certains raisonnements. Il y trouvera matière à réflexion sur l’importance croissante de la modélisation de nombreux phénomènes, du climat à l’économie, qui permet certes de réduire les incertitudes auxquelles la société est confrontée et de ne pas jouer l’avenir aux dés, mais qui a aussi des limites qui auraient mérité d’être davantage explicitées.

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